Kulmalaskuri – Muunna Asteet, Radiaanit ja Gradiaanit

Kulmalaskuri

Muunna kulmat helposti asteiden, radiaanien ja gradiaanien välillä. Laske vektorien ja kolmioiden kulmat.

360° Täysi kierros
2π Radiaaneina
400 Gradiaaneina
90° Suora kulma

Kulmalaskuri

Valitse laskentamenetelmä ja syötä arvot

Yksikkömuunnos
DMS → Desimaaliasteet
Kulma vektorien välillä
Kolmion kulmat (sivuista)
Säännöllisen monikulmion kulmat

Tulokset

Lasketut kulmat eri muodoissa

Asteet
45.000°
Radiaanit
0.785398 rad
Gradiaanit
50.000 gon
DMS
45° 0′ 0.00″
Muunnoskaavat

Asteet → Radiaanit: × π/180
Radiaanit → Asteet: × 180/π
Asteet → Gradiaanit: × 10/9

Kulmat Opas – Asteet, Radiaanit ja Trigonometria

Kulmat – Täydellinen Opas

Kattava tietopaketti kulmien matematiikasta, yksiköistä ja käytännön sovelluksista

Mikä on kulma?

Kulma on geometrinen suure, joka ilmaisee kahden säteen välistä kiertosuuntaa yhteisestä pisteestä

Asteet (°)

Yleisin kulman mittayksikkö arkikäytössä. Täysi kierros jaetaan 360 osaan, joten yksi aste on 1/360 kierroksesta.

  • Täysi kierros = 360°
  • Suora kulma = 90°
  • Oikokulma = 180°
  • Historiallinen babylonialainen järjestelmä

Radiaanit (rad)

SI-järjestelmän yksikkö kulmille. Yksi radiaani on kulma, jossa ympyrän kaaren pituus on yhtä suuri kuin säde.

  • Täysi kierros = 2π rad ≈ 6.283
  • Suora kulma = π/2 rad
  • 1 rad ≈ 57.296°
  • Matematiikassa ja fysiikassa standardi

Gradiaanit (gon)

Metrinen yksikkö, jossa täysi kierros on 400 gonia. Käytetään erityisesti maanmittauksessa ja kartografiassa.

  • Täysi kierros = 400 gon
  • Suora kulma = 100 gon
  • 1 gon = 0.9°
  • Desimaalijärjestelmä helpottaa laskentaa

Kulmatyypit

Kulmat luokitellaan suuruutensa mukaan eri kategorioihin

0°
Nollakulma
Säteet päällekkäin
0°–90°
Terävä kulma
Pienempi kuin suora
90°
Suora kulma
Neljännes kierrosta
90°–180°
Tylppä kulma
Suurempi kuin suora
180°
Oikokulma
Puoli kierrosta
180°–360°
Kupera kulma
Yli puoli kierrosta

Muunnoskaavat

Tarkat kaavat kulmien muuntamiseen eri yksiköiden välillä

Asteet ↔ Radiaanit
θrad = θdeg × π/180
θdeg = θrad × 180/π
π
≈ 3.14159
180°
= π rad
1 rad
≈ 57.296°
1°
≈ 0.01745 rad
Muunnostaulukko
Asteet (°) Radiaanit (rad) Gradiaanit (gon) Kierrokset
0° 0 0 gon 0
30° π/6 ≈ 0.524 33.33 gon 0.083
45° π/4 ≈ 0.785 50 gon 0.125
60° π/3 ≈ 1.047 66.67 gon 0.167
90° π/2 ≈ 1.571 100 gon 0.25
180° π ≈ 3.142 200 gon 0.5
270° 3π/2 ≈ 4.712 300 gon 0.75
360° 2π ≈ 6.283 400 gon 1

DMS-muoto (Asteet-Minuutit-Sekunnit)

Perinteinen tapa ilmaista tarkka kulma navigoinnissa ja maantieteessä

DMS-järjestelmä

DMS jakaa asteet pienempiin osiin samaan tapaan kuin ajan mittaaminen.

  • 1 aste (°) = 60 minuuttia (’)
  • 1 minuutti (’) = 60 sekuntia (”)
  • 1 aste = 3600 sekuntia
  • Esim: 45° 30′ 15″ = 45.504167°

Muunnoskaava

DMS-muodosta desimaaliasteiksi:

  • Desimaali = d + m/60 + s/3600
  • Esim: 45° 30′ 15″
  • = 45 + 30/60 + 15/3600
  • = 45 + 0.5 + 0.00417 = 45.504°

Trigonometriset funktiot

Kulmien ja sivujen väliset suhteet suorakulmaisessa kolmiossa

Sini (sin)
sin(θ) = vastakkainen / hypotenuusa
Suorakulmaisen kolmion vastakkaisen sivun ja hypotenuusan suhde. Arvoväli: -1 … 1.
Kosini (cos)
cos(θ) = viereinen / hypotenuusa
Suorakulmaisen kolmion viereisen sivun ja hypotenuusan suhde. Arvoväli: -1 … 1.
Tangentti (tan)
tan(θ) = vastakkainen / viereinen
Vastakkaisen ja viereisen sivun suhde. Sama kuin sin(θ)/cos(θ). Arvoväli: -∞ … ∞.
Pythagoran identiteetti
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
Perustavanlaatuinen trigonometrinen identiteetti, joka pätee kaikille kulmille θ.
Trigonometristen funktioiden arvot
Kulma sin cos tan
0° 0 1 0
30° 1/2 = 0.5 √3/2 ≈ 0.866 √3/3 ≈ 0.577
45° √2/2 ≈ 0.707 √2/2 ≈ 0.707 1
60° √3/2 ≈ 0.866 1/2 = 0.5 √3 ≈ 1.732
90° 1 0 ∞ (ei määritelty)

Käytännön sovellukset

Kulmat ovat kaikkialla – navigoinnista arkkitehtuuriin

🧭
Navigointi ja GPS
Kompassi ja GPS käyttävät atseemia (azimuth) eli suuntakulmaa pohjoisen suhteen. Lento- ja merenkulussa kulmat ovat kriittisiä.
🏗️
Arkkitehtuuri
Rakennusten suunnittelussa kulmat määrittävät rakenteellisen vahvuuden. 90° kulmat tarjoavat tasapainoa, 45° kulmat vahvuutta.
🎮
Tietokonegrafiikka
3D-grafiikassa rotaatiot ja transformaatiot perustuvat kulmiin. Pelit ja animaatiot käyttävät trigonometriaa jatkuvasti.
📡
Satelliittitekniikka
Antennit kohdistetaan tarkoilla kulmilla (elevaatio ja atseemi) satelliitin sijaintiin. Yhden asteen virhe voi aiheuttaa signaalin menetyksen.
🌞
Aurinkopaneelit
Optimaalinen kallistuskulma riippuu leveysasteesta. Suomessa noin 45-60° etelään päin maksimoi energiantuotannon.
✈️
Ilmailu
Nousukulma, laskeutumiskulma ja kallistus ovat kriittisiä turvallisuustekijöitä. Lähestymiskulma lentokentillä on tyypillisesti 3°.

Monikulmioiden kulmat

Säännöllisten monikulmioiden sisä- ja ulkokulmat

Monikulmion kulmakaavat (n sivua)
Sisäkulmien summa = (n – 2) × 180°
Sisäkulma = (n – 2) × 180° / n
Ulkokulma = 360° / n
Säännöllisten monikulmioiden kulmat
Monikulmio Sivut (n) Sisäkulma Ulkokulma Kulmien summa
Kolmio 3 60° 120° 180°
Neliö 4 90° 90° 360°
Viisikulmio 5 108° 72° 540°
Kuusikulmio 6 120° 60° 720°
Kahdeksankulmio 8 135° 45° 1080°
Kymmenkulmio 10 144° 36° 1440°
Kaksitoistakulmio 12 150° 30° 1800°

Yhteenveto: Kulmat yhdellä silmäyksellä

Kulmat ovat geometrian peruskäsite, jolla on lukemattomia sovelluksia matematiikassa, fysiikassa, navigoinnissa ja tekniikassa. Kolme pääyksikköä – asteet, radiaanit ja gradiaanit – palvelevat eri tarkoituksia.

Muista: Matematiikassa ja fysiikassa käytetään lähes aina radiaaneja, kun taas arkikäytössä ja navigoinnissa asteet ovat yleisimpiä.

360° Täysi kierros
2π Radiaaneina
400 Gradiaaneina
π/180 deg → rad
57.3° 1 radiaani
0.9° 1 gradiaani

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *